Лекции об уравнениях с частными производнымиLitres, 15 мая 2022 г. Автор этой книги является основоположником современной теории дифференциальных уравнений. Основу книги составили лекции, прочитанные студентам-математикам механико-математического факультета Московского государственного университета в тридцатых годах двадцатого столетия. В книге рассматриваются три типа дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптические, параболические и гиперболические. Для каждого типа исследуются вопросы существования и единственности решения и его непрерывной зависимости от заданных начальных и граничных условий. Книга может быть рекомендована студентам математических и естественно-научных специальностей, в которых требуется знать и использовать уравнения в частных производных. Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 08-01-07069 Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для государственных университетов. |
Содержание
26 Дополнительные сведения о собственных функциях и о разрешимости смешанной задачи для гиперболических уравнений | 226 |
Эллиптические уравнения | 239 |
28 Свойство максимума и минимума и его следствия | 241 |
29 Решение задачи Дирихле для круга | 246 |
Теоремы обосновных свойствах гармонических функций | 255 |
Доказательство существования решения задачи Дирихле | 264 |
Внешняя задача Дирихле | 274 |
33 Вторая краевая задача | 278 |
Метод сеток для приближенного решения задачи Дирихле | 317 |
Обзор некоторых результатов для более общих эллипти ческих уравнений | 325 |
Параболические уравнения | 338 |
Решение первой краевой задачи для прямоугольника ме тодом Фурье | 341 |
40 Задача Коши | 345 |
41 Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений параболического типа | 350 |
42 Решение первой краевой задачи для уравнения теплопро водности методом сеток | 354 |
43 Замечания о методе сеток | 368 |
Часто встречающиеся слова и выражения
Аналогично будем будет вида вместе внутри всех всюду всякой второго порядка второй краевой задачи гармонических функций гиперболических гиперболических уравнений гиперплоскости граничным условиям д°и д°и Действительно Докажем Доказательство доказать достаточно малых единственное решение заданной задачи Дирихле имеет интеграл координат которых коэффициенты краевых условиях легко линейных любой методом может можно называется начальным условиям независимых переменных некоторой непрерывно дифференцируемых непрерывной функции непрерывные производные неравенства обобщенное решение образом обращается в нуль ограниченной одной определения определить отрезке Отсюда первой краевой задачи плоскости поверхности Покажем получим постоянная Поэтому правой части преобразование преобразование Лоренца произвольной Пусть равенство равномерно сходится разностной схемы разностных уравнений рассматриваемой Рассмотрим решение уравнения решения задачи Коши ряд систему системы Следовательно следует случае смешанной задачи собственных значений собственных функций соответствующих существует схо сходимости теоремы Тогда удовлетворяет уравнению удовлетворяющее условиям узловых точках уравнения 22.1 уравнения Лапласа условия Коши формулы функ функции Грина Фурье характеристического число эллиптических эллиптических уравнений является