nète, ces trois accroissemens de r,,s, seront des fonctions de t et de six nouvelles constantes arbitraires, que je représenterai par a', b', c', etc. Une troisième approximation donnera lieu à de nouveaux accroissemens des coordonnées, qui étant aussi déterminés par trois équations du second ordre, renfermeront encore six autres constantes arbitraires; et ainsi de suite. Nous nous bornerons à la seconde approximation, c'està-dire que nous négligerons les puissances des forces perturbatrices supérieures à la première, et que nous prendrons, en conséquence, r+dr, v+dv, s+ds, pour les valeurs complètes des coordonnées de la planète dont nous considérons le mouvement autour du Soleil.

Ces valeurs contiendront les douze constantes arbitraires a, b, c, etc., a, b', c', etc., qui devront, par la nature de la question, se réduire à six constantes seulement, ou à six fonctions distinctes de ces douze quantités, ce qu'en effet on pourra toujours vérifier. Nous désignerons par A, B, C, etc., ces six constantes définitives; leurs valeurs se concluront de la position et de la vitesse de la planète, à un instant déterminé, ou bien elles se déduiront de la comparaison des formules r+ dr, vt dv, s+ds, aux observations. Dans tous les cas, elles seront uniques et entièrement déterminées. On pourra, au contraire, disposer comme on voudra des six constantes a', b', c', etc.; et les valeurs qu'on leur attribuera arbitrairement détermineront celles de a, b, c, etc., qui différeront peu des valeurs de A, B, C, etc., à cause de la petitesse des forces perturbatrices.

Si l'on veut que ds, dv, dr, expriment les effets produits par ces forces, pendant un tems donné, sur la latitude, la longitude et le rayon vecteur de la planète troublée, il faudra déterminer a, b, c, etc., de manière que les coordonnées elliptiques r, v, s, et leurs coefficiens dr dv ds

différentiels de' d' d' représentent la position et la vitesse de la pla

nète, au commencement de cet intervalle de tems, et déterminer ensuite a, b, c, etc., de telle sorte qu'on ait, à la même époque,

Au bout d'un tems t, compté de cette époque, sera la distance au Soleil qui aurait lieu si la force perturbatrice eût cessé d'agir au commencement, et dr l'augmentation de distance produite par cette force;

et de même pour vet dv, s et ds. Lorsque l'on détermine a', b', c', etc., par d'autres conditions, les perturbations de la planète troublée ne sont plus comprises en entier dans les termes dr, dv, ds, de ces coordonnées; elles affectent aussi les termes elliptiques r, v, s, en influant sur les valeurs des constantes a, b, c, etc., qui ne sont plus les mêmes que si la force perturbatrice était supprimée; mais cela n'a aucun inconvénient et n'empêche pas que les coordonnées complètes r+dr, v+dv, s+ds, ne représentent à chaque instant la position de la planète, ce qui est l'objet des tables de son mouvement, dans lesquelles on réduit leurs valeurs. Au lieu de considérer directement les accroissemens dr, dv, ds, des coordonnées elliptiques, si l'on suit la méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires, et qu'on représente par da, db, de, etc., les accroissemens des constantes a, b, c, etc., contenues dans r, v, s, ces six variables da, b, c, etc., seront données par des intégrations immédiates, en supposant toujours que l'on néglige les puissances des forces perturbatrices supérieures à la première. Leurs valeurs seront donc de la forme:

da = a, + 4,

v, s, on

db = b + 4

་་

a,, b, c,, etc., étant de nouvelles constantes arbitraires, et o, 4, 0, etc., des fonctions de t et de a, b, c, etc. En substituant a+da, b+db, cdc, etc., à la place de a, b, c, etc., dans les expressions de r, aura des coordonnées de la planète troublée, équivalentes à r+dr, v + dv, s +ds. Les constantes a,, b, c,, etc., ainsi que ,, 0, etc., étant des quantités de l'ordre des forces perturbatrices, on pourra, dans les valeurs de ,,, etc., mettre a+a,, b+b,, c+c,, etc., à la place de a, b, c, etc.; au moyen de quoi a + da, b+db, c + dc, etc., et par suite r+dr, v+dv, s+ds, seront des fonctions de ces six constantes a+a,, b+b,, c + c,, etc.; ce qui montre comment les constantes arbitraires contenues dans les coordonnées de la planète troublée, qui résultent des deux premières approximations, se réduisent au nombre que comporte le système d'équations différentielles dont elles dépendent.

Si l'on veut connaître l'effet total des forces perturbatrices, pendant un tems donné, sur chacun des élémens elliptiques, on déterminera, comme on l'a dit plus haut, les constantes a, b, c, etc., d'après la position, la vitesse et la direction de la planète, au commencement de

cet intervalle de tems, et ensuite les constantes a,, b, c,, etc., par les équations

a,+0=0, b,+↓=0, c,+=o, etc.,

relatives au même instant : l'effet demandé sera exprimé, après un tems quelconque, par chacune des quantités da, db, dc, etc., qui ne contiendront plus rien d'arbitraire. C'est là ce qui se pratique, par exemple, dans la théorie des comètes, où l'on calcule, par les quadratures, les valeurs de da, b, de, etc., pour l'intervalle de tems qui s'écoule entre deux apparitions successives.

Telles sont les considérations générales qu'il convenait de rappeler avant d'examiner plus particulièrement la méthode suivie dans le second livre de la Mécanique céleste, pour le calcul des perturbations; méthode qui a paru à M. Plana présenter de l'obscurité.

II. Pour plus de simplicité, je ne m'occuperai que du mouvement de la planète troublée, en longitude el suivant son rayon vecteur, ce qui réduira à quatre les six constantes arbitraires introduites par chaque approximation.

Les coordonnées elliptiques r et dépendent de ces deux équations :

qui ont déjà subi une intégration, et dans lesquelles a est une constante arbitraire, M la masse du Soleil, m celle de la planète, la force d'attraction entre deux masses prises chacune pour unité et séparées l'une de l'autre par une distance aussi égale à l'unité linéaire. Quand on supprime ce facteur, indépendant de la nature des corps, on prend implicitement la force qu'il représente pour unité de force, ou bien on entend par la masse de chaque corps, l'attraction qu'il exerce à l'unité de distance.

L'excentricité de la planète étant supposée peu considérable, on exprime les valeurs de r etv en séries ordonnées suivant les puissances de cette quantité. Si on la désigne par e, et que l'on s'arrête à la première puissance inclusivement, ce qui suffira à l'objet que je me pro

et

et désignant par b et c deux constantes arbitraires. Ces valeurs de r satisfont aux équations (1), en négligeant le carré de e, et elles en sont les intégrales complètes, à cause des trois constantes e, b, c, qu'elles contiennent de plus que ces équations. Ces trois quantités, jointes à a, sont les quatre constantes arbitraires résultantes de la première approximation. La constante a est le demi grand axe de l'ellipse qui répond à cette approximation, n le nombre de degrés décrits par la planète dans chaque unité de tems en vertu de son moyen mou360° vement, et la durée de sa révolution. Pour se servir de la for

n

mule (3), il sera nécessaire d'en éliminer la quantité dont l'expression numérique dépendra des unités de tems, de longueur et de masse que l'on choisira si l'on prend, par exemple, le demi grand axe de la Terre pour unité linéaire, l'année julienne pour unité de tems, et la masse du Soleil, augmentée de celle de la Terre, pour unité de masse, on aura, dans le cas de cette planète,

a = 1, n = 2α, M + m = 1,

moindre que 180°; d'où il résultera

a étant un peu (180°) pour la valeur de qui répond à ces diverses unités, désignant le rapport de la circonférence au diamètre. Dans la pratique, la valeur de n relative à chaque planète, se tire directement de l'observation; celle de a s'en déduit au moyen de l'équation (3); l'excentricité e se conclut de la plus grande équation du centre, et les constantes b et c résultent des positions de la planète et de son périhélie, à un instant déterminé. III. Maintenant, si l'on a égard aux forces perturbatrices, et si l'on désigne par R la même fonction que dans la Mécanique céleste, le premier membre de la première équation (1) sera augmenté de 2fdR, et

dR

celui de la seconde, de 2fdR +r la différentielle dR étant prise

dr

seulement par rapport aux coordonnées de la planète troublée, ou au tems introduit dans R par la substitution de leurs valeurs. En faisant cette substitution, on emploiera les coordonnées du mouvement elliptique, puisque nous négligeons les puissances des forces perturbatrices supérieures à la première; par conséquent, dans cette seconde approximation, la fonction R ne sera composée que de quantités connues. D'après cela, si l'on ajoute ces nouveaux termes aux équations (1), que l'on y mette en même tems r+dr et v+dv à la place de r et v, et qu'on néglige les carrés et le produit de dr et dv, on aura

d.dv drd.dr

a

a'n + + a3n2 (~ + 1) / + SdR=0,

dt

dta

(4)

en observant que, d'après les équations (2), on a r'dv andt, quand on néglige le carré de e.

L'intégration de la seconde équation (4) fera connaître la valeur de dr; la première de ces deux équations donnera ensuite la valeur de d.dv, et par une intégration immédiate, on en conclura celle de dv. Les quatre constantes arbitraires introduites par cette seconde approximation, seront la constante contenue implicitement dans l'intégrale sdR, les deux constantes renfermées dans l'intégrale complète de la seconde équation (4), enfin celle que comprendra l'intégrale de la valeur trouvée pour d.dv; et l'on pourra disposer comme on voudra de ces quatre quantités.

Laplace désigne la première constante par m'g, m'étant la masse de la planète perturbatrice; il en dispose pour que de ne renferme aucun terme proportionnel au tems, ou, autrement dit, pour que l'autre partie de la longitude + contienne seule le moyen mouvement de la planète troublée, ce qui exige qu'il prenne

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m'A() étant la partie non périodique du développement de R. Il dis